La musique - l’art du temps
Première partie
err
La
Introduction
Voici un texte qui est le fruit d’un conversation en 2023 avec mon ami Philippe, que je remercie ici.
J’ai eu beaucoup de plaisir dans la rédaction de ce texte, j’ai du creuser les idées qui flottaient mais qu’il m’a fallu approfondir et poser. J’ai été obligé de comprendre en profondeur les notions de gamme, de note, de tempéraments. Ensuite, ça m’a amusé d’écrire le code permettant de mettre des partitions et musiques synthétiques dans un même un texte interactif (grâce aux outils magiques que sont python, abc2svg.js, et quarto !)
Cher Philippe
Tu me demande ce que c’est que la tonalité, à quoi sert-elle, pourquoi est-elle nécessaire, et ce que une tonique.
C’est finalement une vaste question, et c’est une boite de Pandore il m’a fallu ouvrir pour te répondre.
C’est vrai qu’il y a beaucoup de jargon en musique, en y réfléchissant, je pense qu’une des raisons pourrait être que la science qui est à même de bien expliquer la musique, ce sont plutôt les mathématiques. Et les matheux eux aussi utilisent beaucoup de jargon. Cela vient du fait je pense que ce sont des activités parfaitement abstraites, et qui toute les deux forment un langage avec sa grammaire, sa syntaxe, et donc son lexique.
Je vais essayer de faire venir les notions, en mettant en gras ce qui serait une définition du lexique. Et essayer d’aller jusqu’à la tonique ! C’est une notion importante en musique occidentale. (et donc pour ça, je vais introduire les notions que la musique occidentale utilise, et laisser tomber successivement les pratiques culturelles de la musique non-occidentale).
Bref, comment expliquer quelque chose qui tient à l’esthétique et à l’émotion en termes scientifiques. Ça c’est un sacré challenge, Merci de me le poser, je peux essayer, et ça va m’aider à mieux comprendre ce qui se passe. « Du coup » je repars du début, pour être sûr, et je vais essayer de pointer les choix et les simplifications au furs et à mesure, et donc les traditions musicales que l’on abandonne - pour arriver à la musique tonale telle qu’on la conçoit en occident depuis du XVIe au XXe.
À cause de ce jargon, il va y avoir de nombreuses définitions dans ce qui suit. C’est utile pour moi, et nécessaire pour toi pour pouvoir lire d’autres textes sur la musique. Je vais les noter en gras.
La musique - l’art du temps
La musique, c’est quoi ? - un enchaînement de notes ?
(oui - je reprend -au début- !)
C’est des sons bien sûr, mais c’est plus. Si la peinture c’est jouer avec la lumière, J’aime dire que la musique, c’est l’art du temps qui s’écoule. Et à toutes les échelles en même temps (disons de la 100aine de µsec à l’heure.1
1 ce qui fait quand même 7 ordres de grandeur !
Variations aux fréquences audio
Un 440 Hz sinusoïdal ne fait pas plus de la musique que un écran éteint de fait de l’outrenoir. Ces fréquences peuvent varier continûment (la voix, la scie musicale, le jazzoflute, les violons !). Mais même dans ce cas là on se restreint à un certain nombre de fréquences fixes déterminées (le xylophone, la marimba, le piano…), qu’on va appeler des notes. Donc une note = une fréquence. Un ensemble de musicien va s’efforcer de tous jouer avec les mêmes notes (sinon, on dit qu’ils jouent « faux »). C’est donc un choix. Et il existe un foule de possibilités, on verra plus tard. (Là, on abandonne les musiques orientales, qui s’intéressent aux intonations (changement de fréquences) ou qui ne s’appuient pas du tout sur des notes : jeux de voix Inuit, percussions africaines, musique concrète contemporaine, ou même le chant des oiseaux… )
Variations des harmoniques
La même note jouée par la flûte, le hautbois n’a pas la même qualité. L’analyse de Fourier nous apprend qu’une fonction périodique (donc l’onde de pressions d’une fréquence sonore stable), peut être décomposée dans ses harmoniques. Le timbre du son (on dit souvent seulement le son) va dépendre de son jeux d’harmoniques supérieures (la note étant définie par la fréquence de la fréquence de base ou fondamentale.
Tableau des harmoniques:
| fréquence | nom | intervalle correspondant |
|---|---|---|
| f | fondamentale | - |
| 2 f | 1ere harmonique | octave |
| 3 f | 2eme harmonique | quinte |
| 4 f | 3eme harmonique | 2 octaves |
| 5 f | 4eme harmonique | tierce majeure + 2 octaves |
| 6 f | 5eme harmonique | quinte + 2 octaves |
| 7 f | 6eme harmonique | septième mineure + 2 octaves |
| 8 f | 7eme harmonique | 3 octaves |
| 9 f | 8eme harmonique | seconde majeure + 3 octaves |
| 10 f | 9eme harmonique | tierce majeure + 3 octaves |
| 12 f | 11eme harmonique | quinte + 3 octaves |
| 15 f | 14eme harmonique | septième majeure + 3 octaves |
| 16 f | 15eme harmonique | 4 octaves |
La fondamentale, qui forme une sinusoïde pure, sonne comme une flute.
Les harmoniques supérieures apportent plus de variété! Étonnament, notre oreille les reconnait comme des notes différentes.
les harmoniques jouées successivement
les harmoniques jouées ensemble
Les harmoniques supérieures impaires (multiplicateurs pairs) apportent du caractère au son, manière douce,
les harmoniques paires (multiplicateurs impairs) apportent un son “cuivré” avec plus de caractère.
Par la harpe ou le piano, ces harmoniques varient dans le temps, car la corde relaxe lentement vers son mode fondamental (et la fondamentale aussi, légèrement à cause de non-linéarités de déformation). Cette variation fait la qualité du son. Les instruments à vent (la voix) jouent énormément là dessus.
battement
Si dans le son joué, il y a une fréquence légèrement différente de la fondamentale, on va entendre des battements entre les deux fréquences, qui vont encore épaissir la qualité de ce son. Les battements viennent de ce que
cos(a) + cos(b) = 2 cos(\frac{a+b}2)cos(\frac{a-b}2)
ou encore en remplaçant a et b par deux variantes proches (à 2\varepsilon) d’une même fréquence f :
\cos(f - \varepsilon) + \cos(f+\varepsilon) = 2 \cos(f ) \cos(\varepsilon)
donc la fréquence fondamentale modulée en amplitude à basse fréquence. Ça peut être recherché explicitement (le jeu « musette » de l’accordéon).
vibrato
Si c’est la fréquence fondamentale elle même qui varie, alors on part de vibrato.
Physiologie de l’oreille
Notre oreille interne réalise une véritable Transformée de Fourier de l’onde sonore qui arrive sur le tympan. Cette vibration excite une onde stationnaire dans la cochlée, dont la position du neud dépend de la fréquence. Des cellules cilées sont réparties dans la cochlée et détectent ces fréquences. Nous sommes plus ou moins capable de détecter des fréquences de 50 Hz à 20 kHz. Mais il y a aussi clairement une résolution maximale en fréquence au delà de laquelle notre oreille ne peut détecter de différence.
Avec l’âge ou des traumatismes, certaines cellules cilées meurent, ou perdent leur compétence. Celà génère généralement des acouphènes (la sensation non stimulée semble devenir constante), mais surtout cela diminue la gamme de fréquence accessible, et la résolution en fréquence de notre oreille.
Une Remarque
Tu parles l’anglais, il y a cette approche basée sur la dissonance bien présentée par Aatish Bhatia, de façon interactive dans cette discussion présente de manière claire (et différente d’ici) d’où viennent les notes et les accords.
Les discussions associées à cette présentations, en particulier sur github montre combien la chose est compliquée, et aussi prouve bien que beaucoup de gens s’intéressent à ces problèmes.
Et pour finir, les choses sont clairement plus compliquées, je m’en suis rendu compte récemment après avoir vu cette vidéo qui le montre clairement
Enchaînement des notes
mélodie, rythme et harmonie
Dans le temps qui s’écoule, les notes vont changer. Un même instrument (chanteur) qui joue (chante) des notes successivement forme une mélodie. Cette mélodie s’étale dans le temps en passant de note en note.
Chaque note ou silence ont une durée caractéristique, la variation de ces durées forme le rythme de la musique.
Plusieurs instruments (chanteurs) jouant en même temps des notes différentes (éventuellement à plusieurs octave) forment un accord. On peut dire celà aussi pour d’un instrument polyphonique comme le piano ou la guitare. La manière dont les accords varient et s’enchainent forment l’ harmonie de la musique (c’est une notion très “occidentale”, 2 mais je pense qu’on peut l’étendre).
2 voire même “tonale”
autres échelles de temps
Il y a encore, dans la musique que l’on aime, des échelles de temps plus longues.
comment un courte séquence de notes forme une phrase;
comment les phrases s’enchainent, et se répondent;
comment un ensemble de phrases, forment un mouvement;
comment les mouvements se suivent et font contraste;
comment le silence qui vient ensuite est encore de la musique…
Mais c’est une autre histoire
Quelles notes ?
Si il y a des notes, alors il y a un ensemble numérable de fréquences à choisir. Quasiment toujours (ici on abandonne quelques musiques traditionnelles d’Indonésie je crois, et la musique polytonale) les échelles de notes sont choisit telle que si f est une note de l’ensemble, alors 2 f et f/2 (l’octave supérieure et l’octave inférieure) le sont aussi.
octave et quinte
On dit que si f correspond à une note alors 2f correspond à la même note à l’ octave supérieur - c’est la première harmonique de la fréquence f.
Donc
- la hauteur d’un son (sa fréquence) est définie par sa note, ET par l’octave où on l’entend;
- on va donner des noms au notes (Do, Ré, A, B, etc…) indépendament de l’octave où elles sont jouées;
- l’espace musicale est périodique pour le nom des notes… (d’octave en octave):
- pour définir complètement une fréquence, il faut donner le nom de la note et l’octave où elle est jouée - eg Do3 -
Remarquons que si l’octave correspond à un rapport de 2 des fréquences, les octaves successives suivent les puissances de 2 : 2^2 = 4 \quad 2^3 = 8 \quad 2^4 = 16 etc.. Notons également que la tessiture d’une voix humaine est de d’une octave et demie à deux octaves, et que les femmes chantent généralement une octave au dessus des hommes.
Un autre multiple de la fréquence est la deuxième harmonique, la note qui a pour fréquence le triple de fréquence fondamentale est appellée la quinte de la note fondamentale (on verra l’explication de ces noms plus loin).
Cela veut dire que les harmoniques d’une fréquences ne forment pas toutes la même note que la fondamentale.
Explorons cela.
autres harmoniques plus élevées
On entend bien la quinte, quand on la ramène dans l’intervalle de une octave, donc non pas en prenant 3f mais 3/2f. Faisons la même chose pour les harmoniques plus élevées; dans cet extrait on entend les fréquences 3/2f \; 5/4f \; 6/4f \; 7/4f \; 9/8f \; 10/8f \; 11/8f \; 12/8f \; 13/8f \; 14/8f \; 15/8f alternées avec f.
Show the code
sdo = GenereSon(Do3)
joue( [ sdo, GenereSon(3*Do3/2), sdo, GenereSon(5*Do3/4), sdo, GenereSon(6*Do3/4), sdo, GenereSon(7*Do3/4), \
sdo, GenereSon(9*Do3/8), sdo, GenereSon(10*Do3/8), sdo, GenereSon(11*Do3/8), sdo, GenereSon(12*Do3/8), \
sdo, GenereSon(13*Do3/8), sdo, GenereSon(14*Do3/8), sdo, GenereSon(15*Do3/8)], textmd="les harmoniques comme notes naturelles" )les harmoniques comme notes naturelles
une remarque
Il est interessant de noter l’ensemble des 16 premières les harmoniques sur une portée (en utilisant une notation microtonale, car certaines notes n’ont pas de relation directe dans la gamme de 12 sons)
Alors que les notes sont régulièrement espacées en fréquence (de 1f à 16f), les notes sur la portée sont de plus en plus serrées. La portée effectue en réalité une représentation logarithmique des fréquences, une échelle papier log, une représentation qui date du XIe sciècle !
ou aussi
On va utiliser ce matériaux sonore pour construire la gamme, et construire les fréquences des notes comme des fractions rationnelles de la fréquence de la fondamentale. Il existe plusieur façons. On parle beaucoup de la gamme pythagoricienne, strictement basée sur les principes ci-dessus, (c.a.d. un dénominateur en 2^n mais que je ne trouve pas tellement pertinente. Je vais m’appuyer sur la gamme “naturelle” qui utilise pour la construction les sous harmoniques, c’est à dire, avec des dénominateurs utilisant aussi les multiples de 3 ou même 5. Autrement dit la fondamentale de la gamme considérée aussi comme une harmonique supérieure de la fréquence fondamentale divisée par un entier différent de deux.
la gamme
Une gamme est un ensemble de notes, concues pour être jouées dans la même pièce. Une gamme est construite à partir de sa note la plus basse, appelée fondamentale 3 Cet ensemble de notes est défini sur une octave, sur lequel les musiciens vont s’accorder (dans tous les sens du terme) pour jouer ensemble. Une gamme peut avoir un nombre quelconque de notes. 3, 5, 6, 7, 8, 9, 12 sont des nombres courrants en musique. Chacune a un nom unique, et la fréquence de chacune de ces notes peut être définie librement.
3 cette acception du mot fondamentale est légèrement différente de celle vue plus haut pour les harmoniques
La “gamme”, l’“octave” et la “quinte” sont des notions fondamentales pour introduire la “tonalité”.
La musique occidentale classique est basée sur des gammes à 7 notes. La tradition française les appelle “Do Ré Mi Fa Sol La Si”, qui correspondent aux premières syllabes des sept strophes d’un cantique connu au moyen-age, qui les parcoure. Quand on dit “Do3” ou “Sol4”, le chiffre indique l’octave. L’octave “3” est celui où “La3” = 440 Hz en guise de convention. Les anglais, les allemands, les italiens, etc… ont chacun des noms et notations différents.
Il y a plusieurs manières de placer les 7 notes dans l’espace d’une octave.
Traditionnellement, (jusqu’au XVIIe sciècle) on choisi ces notes à partir des harmoniques (ou sous harmoniques, c.a.d. harmoniques d’une fondamentale qui serait plusieurs octaves en dessous) de la fréquence de base, et l’on prend le Do comme base. La fréquence de chaque note de la gamme est définie comme une fraction de la fréquence de la note fondamentale. On défini par exemple f_{Sol} = \frac 3 2 f_{Do}. (Sol est donc bien la “quinte” de Do). Une note A est définie par sa fréquence, comme une fraction rationnelle de la fréquence de la fondamentale f_A = \frac {N_A}{D_A} f_{Do}
le dénominateur D_i est une puissance de 2 pour ramener la fréquence dans l’octave de définition. Il peut aussi contenir d’autres nombre premier dans sa décomposition. Si il est multiple de 3, cela correspond à une note dont la fondamentale est la deuxième harmonique (la quinte). Un multiple de 5 correspond à la quatrième harmonique
Plusieurs gamme sont possibles, prenons deux examples: Je n’aborderai pas la gamme de Pythagore ici
la gamme majeure
| nom de note | ratio des fréquences. | multiplicateur |
|---|---|---|
| Do | 1 | 1 |
| Ré | 9/8 | 1.125 |
| Mi | 5/4 | 1.25 |
| Fa | 4/3 | 1.333… |
| Sol | 3/2 | 1.5 |
| La | 5/3 | 1.666… |
| Si | 15/8 | 1.875 |
| Do | 2 | 2 |
(voir par exemple wikipedia.org/wiki/Gamme_naturelle )
Nous voyons que pour la gamme de Do, 3/2f correspond à Sol, 5/4f à Mi, 9/8f à Ré, et 15/8f à Si. Les multiplicateurs 7, 11 et 13 ne sont pas présents (écouter Son 9) 4
4 ce sont des nombres premiers, et donc ils ne se rapportent pas à des harmoniques plus simples, à la différence de 9 et 15, mais malgré cela, “sonnent” relativement bien
Le fait que les notes sont en rapports entiers fait que ces notes sont entendues naturellement dans les octaves supérieures pour un Do qui aurait une sonorité riche en nombreuses harmoniques supérieures pour les fraction avec un dénominateur puissance de deux, ou pour un Do riche de plusieurs octave plus grave pour les dénominateurs en 3 ou 5.
Dans un son grave, riche en harmoniques, on va entendre naturellement ces notes dans les fréquences élevées. Dans le vent qui fait chanter un fil, qui passe dans un pli de rocher, dans un remous dans le torrent.
De même un long tube jouant dans les harmoniques élevées de la fondamentale de ce tube, va faire sonner ces notes (cor de chasse, flûte harmonique (overtone flute en EN), koncovka slovaque, fujara tchèque, voir ICI sur YouTube ou LÀ pour des exemples frappants)
Cela fait que des mélodies et des accords construits avec ces notes vont sonner agréablement car les fréquences des notes sont en rapports rationels entre elles.
tons et demi-ton
Dans cette gamme, les notes ne sont pas equidistantes, il y a un grand intervalle (que l’on appelle un ton) pour Do-Ré, Ré-Mi, Fa-Sol, Sol-La, et La-Si; et un petit intervalle (que l’on appelle demi-ton pour Mi-Fa et Si-Do). Tous les tons ne sont pas exactement égaux, et les rapports entre les fréquences de notes ne sont égaux: (Do-Ré et Fa-Sol La-Si sont à 9/8=1.125) appelé “ton majeur” (Ré-Mi Sol-La sont à 10/9=1.111) appelé “ton mineur”. Les deux demis-tons sont à 16/15=1.067.
La répartition de la gamme majeure est donc, à un partir de la fondamentale, sur un octave (en notant 1 et \frac 1 2 tons et demi-tons): 1 - 1 - \frac 1 2 - 1 - 1 - 1 -\frac 1 2
On voit très bien cela sur un pipeau, où on va trouver 6 trous, équidistants pour le placement des doits, mais avec une alternance de petits et grands trous. Voir par exemple le fifre ou le pipeau irlandais.
gamme mineure
Si l’on va vers des sous-harmoniques plus lointaines, on trouve d’autres étagements possibles. À partir de cette logique, on peut construire d’autres gammes à 7 notes, par exemple la gamme mineure
| nom de note | ratio des fréquences. | multiplicateur |
|---|---|---|
| Do | 1 | 1 |
| Ré | 9/8 | 1.125 |
| Mi♭ | 6/5 | 1.2 |
| Fa | 4/3 | 1.333… |
| Sol | 3/2 | 1.5 |
| La♭ | 8/5 | 1.6 |
| Si♭ | 9/5 | 1.8 |
| Do | 2 | 2 |
Les notes différentes par rapport à la gamme précédente ont de nouveau noms. Il y a un demi-ton entre Ré et Mi bémol, et un ton entre Mi♭ et Fa. De même il y a un demi-tons entre Sol et La bémol, un ton entre La♭ et Si bémol et et ton entre Si♭ et Do.
Donc toujours 5 tons et 2 demi-tons, répartits différement dans la gamme: 1 - \frac 1 2 - 1 - 1 -\frac 1 2 - 1 - 1
En fait, avec cette définition du ton, on s’attend à avoir 6 tons dans un octave, en effet pour le ton à 9/8 on trouve 6 \text{ tons} = \frac{9^6}{8^6} = 2.027 c’est à dire presque 2, par contre pour le petit ton à 10/9 l’erreur est plus importante: 6 \text{ tons} = \frac{10^6}{9^6} = 1.88
Bien évidement, il existe de multiples autres possibilités de gamme, en dehors de majeure et mineure, nous en parlerons dans le passage sur la musique modale.
noms des intervalles
Nous allons utiliser la notion d’intervalle pour parler de distance dans l’échelle des notes. On compte ces distance en comptant le nombre de notes impliquées, en comptant celle de départ et celle d’arrivée. Ainsi la distance Do-Ré est une seconde. En ce déplaçant dans la gamme, on passe par des tons et des demis ton, ce qui nous permet de définir les intervales suivants:
| intervalle | ton et demi-ton | nb de notes impliquées |
|---|---|---|
| seconde mineure | 1/2 | 2 |
| seconde majeure | 1 | 2 |
| tierce mineure | 1 + 1/2 | 3 |
| tierce majeure | 2 | 3 |
| Quarte | 2 + 1/2 | 4 |
| Triton | 3 | 4 ou 5 |
| Quinte | 3 + 1/2 | 5 |
| sixte mineure | 3 + 1/2 + 1/2 | 6 |
| sixte majeure | 4 + 1/2 | 6 |
| septième mineure | 4 + 1/2 + 1/2 | 7 |
| septième majeure | 5 + 1/2 | 7 |
| octave | 5 + 1/2 + 1/2 | 8 |
Pour les intervalles de quarte, quinte et octave qui n’ont qu’une seule forme, on définit de plus les variants augmenté et diminué qui ont respectivement un demi ton en plus ou en moins, et ne diffère que du triton que par le nombre de notes impliquées (par exemple: Fa - Si (quarte augmentée) ou Si - Fa (quinte diminuée))
Ces notions sont importantes pour les musiciens, on comprend le nom de la quinte et de l’octave; on comprend les noms de majeure et mineure donnés aux deux gammes présentées, par le fait que le première tierce est soit majeure (Do-Mi) soit mineure (Do-Mi♭).
la Tonalité
Première définition
Les gammes que l’on vient de définir sont structurées à partir d’une fréquence fondamentale. On peut bien sûr contruire une gamme à partir d’une autre fréquence que le Do à 264 Hz.
Une tonalité est définie par sa note fondamentale, et l’alternance de tons et demi tons. Cette alternance s’appelle le mode, nous avons vu les modes Majeur et Mineur, il en existe beaucoup d’autres.
Si on utilise cette gamme majeure de Ré pour jouer une pièce, on va dire que cette pièce est dans la tonalité de Ré majeur. Et de même pour n’importe quelle paire fondamentale/mode (Do Majeur, Ré mineur, etc.)
Le nom d’une tonalité est donc la paire Note fondamentale/mode : Do mineur.
changement de tonalité
En changeant de fondamentale, on va définir de nouvelles notes, avec de nouvelles fréquences pas encore croisées.
Par exemple, si je construis une gamme mineure à partir de la fréquence du Ré définit précédemment, et qui va redéfinir les notes Ré-Mi-Fa-Sol-La-Sib-Do, la quinte est définie ainsi: f_{Ré} = 9/8 f_{Do} \quad f_{quinte de Ré} = 3/2 \times 9/8 f_{Do} = 27/16 f_{Do} On voit donc que la quinte harmonique de la note Ré (on dit quinte juste ), qu’on va aussi appeler “La”, n’est pas la même note que le “La” définit dans la gamme de Do (majeure ou mineure, c’est le même, f_{La} = 5/3 f_{Do}).
Il y a une légère différence, entre le La définit dans la gamme de Do, et le La, quinte juste de Ré.
On trouve: f_{La} = 440 Hz \quad f_{La*} = 445.5 Hz , soit une différence de 5.5 Hz, ou 1.25\% d’écard de fréquence, tout à fait audible.
De même le Mi et le Fa définis dans la gamme de Ré mineur sont légèrement différents de ceux de la gamme de Do. Par contre on trouve que le Sol et le Si♭ ont les mêmes fréquences que dans la gamme de Do.
La gamme de Ré mineur est donc “Ré Mi* Fa* Sol La* Si♭ Do”, où les Mi* Fa* et La* sont très légèrement différent de ceux trouvés dans la gamme de Do.
La suivit de La* - une différence de 5.5 Hz
La suivit de La* - une différence de 5.5 Hz
Pour bien mesurer l’écard entre les deux notes, on peut les jouer ensemble, le battement qu’on entend a une fréquence égale à l’écart entre les deux notes. On utilise ces battements pour accorder un piano ou une guitare.
Pour la gamme de Ré majeur, en plus de ces légers écarts, du fait de l’alternance des ton et des demis-ton, on va créer de nouvelles notes. La tierce majeure de Ré est placée entre Fa et Sol, et on va l’appeler Fa♯, et la septième de Ré est placée entre Do et Ré, et on l’appelle Do♯.
Ainsi la gamme majeure de Ré (Ré majeur) est “Ré Mi* Fa♯ Sol La* Si Do♯”.
équivalence de notes
La de la gamme de Do : 5/3 = 1.6667 \quad et La de la gamme de Ré : 26/16 = 1.6875, c’est à dire 1.25\% d’écard de fréquence. Probablement audible avec une bonne oreille de violoniste ! Mais pour quelqu’un qui ne fais pas attention, on n’entend guère la différence; il a va très naturellement se dire que les distinguer est vraiment du pinaillage, et poser La \equiv La* .
De même pour les Mi* ou Fa*.
on passe de 7 à 21 notes
En variant la note fondamentale, on peut donc définir de nouvelles notes, extérieures aux gammes majeure et mineure de Do. Ces nouvelles notes sont situées plus ou moins au milieu des écarts de fréquences formés par un ton. On en a déjà 5 : “Mi♭ Fa♯ La♭ Si♭ Do♯”, définis par les tonalités de de Do mineur et Ré majeur.
On a 5 tons dans la gamme, on pourrait faire avec 5 notes de plus, placées au milieu de ces tons. Entre le Sol et La (par exemple), suivant par quelle gamme on définit ces notes, on aura soit Sol♯ soit La♭. On a donc 10 notes à créer (5 ♯ et 5 ♭).
Mais strictement parlant, un Do♭ que l’on va trouver dans une gamme mineure de La♭ n’est pas non plus égal à un Si, on rajoute donc en 5 notes additionnelles.
On peut donc définir 21 notes.5
5 je n’ai pas compté les double ♯ et double ♭ qui rajouteraient encore plus d’une douzaine de nom de notes
Do Do♯ Ré♭ Ré Ré♯ Mi♭ Mi Mi♯ Fa♭ Fa Fa♯ Sol♭ Sol Sol♯ La♭ La La♯ Si♭ Si Si♯ Do♭
Les notes avec un ♯ ou un ♭ sont dites note altérée, les autres sont naturelles, et le ♯ et le ♭ sont des altérations.
puis de 21 à 12 notes
La différence en Ré♯ et Mi♭ (par exemple) est du même ordre que entre La et La* vu plus haut. On va donc pouvoir fusionner les notes altérées (c.a.d. prendre une valeur intérmédiaire pour, par exemple Ré♯ et Mi♭). Les 21 notes se retrouvent donc avec 12 fréquences à se partager, 7 notes naturelles, et 5 altérées.
On dit que Ré♯ et Mi♭ sont des notes enharmoniques, quasiment de même hauteur, mais de nom différent. Avec la même logique, on peut définir un Si♯ enharmonique de Do, ou un Fa♭ enharmonique de Mi.
Bien sûr, ce n’est qu’une nomenclature, car les fréquences exactes dépendent de la note de base.
instruments diatoniques et chomatiques
De nombreux instruments à notes fixes, accordés dans une tonalité donnée: balafon; marimba; flute à bec en Do ou en Sol; Tin Whistle en Ré, harmonica en Mi, etc. ne peuvent jouer que dans quelques tonalités proches, voire une seule. On les appelle instruments diatoniques
Ainsi, un instrument en Do majeur peut jouer en Ré mineur, au prix de petites différences. Ces différences sont la caractéristique de la musique modale - que nous verrons plus bas.
En musiques tonale ces différences sont éventuellement légères et ne portent guère à conséquence à l’écoute. On va donc choisir pour chacune des douze notes une fréquence la plus proche possible des fréquences définies par chaque tonalité (comme le La et le La* cités précédement).
Les instruments chromatiques sont ceux qui peuvent jouer dans toutes les tonalités, les violons ou la voix bien sûr, mais ausi les inseurtruments à claviers complet (piano) ou à frètes (guitare).
Le tempérament égal est ce qui permet ces instruments chromatiques:
le tempérament égal
Le problème est qu’il y a 24 tonalités (12 notes \times 2 modes), et autant de manières de définir les fréquences des 12 notes. On appelle l’échelle de fréquences des 12 notes ainsi contruite un tempérament. Il en existe un grand nombre, qui diffèrent par les détails de la procédure de construction, et les fréquences exactes obtenues.
En enchaînant un mode de construction similaire à celui utilisé ci-dessus (Do majeur, puis Do mineur, puis Ré majeur et Mineur), on arrive rapidement à des difficultés, et des écarts à l’idéal de plus en plus grand. Il existe de nombreuses procédures, mais aucune n’est satisfaisante, il faut faire des compromis, et on repouse les difficultés vers des tonalités lointaines de celle de Do.
Par exemple on parle de la quinte du loup pour l’intervale La♭ - Mi♭ qui est généralement très loin du rapport 1.5 idéal dans les constructions classiques. 6
6 Dans notre construction de Do mineur, cette quinte est juste, mais notre construction n’est pas la procédure standard utilisée
7 on peut facilement définir d’autres tempéraments égaux, où on divise en un autre nombre d’intervalles égaux, en particulier, les découpages en 19, 22 ou 31 égales divisions de l’octave approxime très bien la gamme naturelle, et sont utilisés par certains compositeurs
Pour simplifier la chose, on a choisit en musique occidentale de prendre le tempérament égal où tous les 12 notes sont étagées de manière géométrique, en abandonnant complètement les fractions rationelles. Les notes sont en progression de \sqrt[12]{2} = 1.05946 \cdots qui est choisit comme valeur pour le demi-ton. Dans ce tempérament, tous les demi-tons ont la même valeur, aucune note n’est parfaitement juste, mais aucune note n’est très fausse…7
Ce demi ton de 1.05946 est différent du demi-ton naturel: 16/15= 1.06667, le ton tempéré, de \sqrt[6]{2} = 1.1224 est intermédiaire entre les deux tons naturels : 10/9=1.1111 et 9/8=1.125.
à comparer avec la gamme naturelle: Son 10
comparaison entre les gammes tempérées et la gammes naturelles
Pour la gamme majeure
| Note | Gamme Naturelle | tempérament égal | différence en Hz | en cents |
|---|---|---|---|---|
| Do | 261.63 | 261.63 | +0.000 | +0.0 |
| Ré | 294.33 | 293.66 | +0.664 | -3.9 |
| Mi | 327.03 | 329.63 | -2.596 | +13.7 |
| Fa | 348.83 | 349.23 | -0.394 | +2.0 |
| Sol | 392.44 | 392.00 | +0.443 | -2.0 |
| La | 436.04 | 440.00 | -3.957 | +15.6 |
| Si | 490.55 | 493.88 | -3.335 | +11.7 |
Table de comparaison des fréquences pour la gamme majeure: - les valeurs sont en Hz
Le cent est une mesure classique des écarts de fréquences, exprimés de manière logarithmique. Il est défini comme \sqrt[1200]{2}, et donc un demi-ton de tempérament égal “vaut” 100 cents.
remarque, les fréquences présentées ici ne sont pas standards, car j’ai choisit de baser sur le Do, ce qui décale le La de la gamme naturelle à 436 au lieu de 440
Si on joue en même temps les deux gammes, les battements nous renseignent directement sur les différences de fréquences.
La gamme tempérée et la gamme naturelle de Do majeur , jouées en même temps
Et pour la gamme mineure
| Note | Gamme Naturelle | tempérament égal | différence en Hz | en cents |
|---|---|---|---|---|
| Do | 261.63 | 261.63 | +0.000 | +0.0 |
| Ré | 294.33 | 293.66 | +0.664 | -3.9 |
| Mib | 313.95 | 311.13 | +2.824 | -15.6 |
| Fa | 348.83 | 349.23 | -0.394 | +2.0 |
| Sol | 392.44 | 392.00 | +0.443 | -2.0 |
| Lab | 418.60 | 415.30 | +3.296 | -13.7 |
| Sib | 465.11 | 466.16 | -1.052 | +3.9 |
Table de comparaison des fréquences pour la gamme mineure: - les valeurs sont en Hz
La gamme tempérée et la gamme naturelle de Do mineur , jouées en même temps
dans les deux cas, on voit et on entend que les tierces (mineure ou majeure / Mib ou Mi ) sont légèrement fausses, ainsi que les La Lab et Si. Cet écart est tout à fait audible, et joue un grand rôle dans l’écriture pour chœur ou pour cordes.
Pour finir, une table qui va mettre très utile dans la composition, voici les écarts pour l’ensemble des notes dans un gamme générique.
| Note | Gamme Naturelle | tempérament égal | différence en Hz | en cents |
|---|---|---|---|---|
| i | 261.63 | 261.63 | +0.000 | +0.0 |
| i# | 272.53 | 277.18 | -4.656 | +29.3 |
| iib | 279.07 | 277.18 | +1.885 | -11.7 |
| ii | 294.33 | 293.66 | +0.664 | -3.9 |
| ii# | 306.59 | 311.13 | -4.535 | +25.4 |
| iiib | 313.95 | 311.13 | +2.824 | -15.6 |
| iii | 327.03 | 329.63 | -2.596 | +13.7 |
| iv | 348.83 | 349.23 | -0.394 | +2.0 |
| iv# | 367.91 | 369.99 | -2.083 | +9.8 |
| vb | 376.74 | 369.99 | +6.746 | -31.3 |
| v | 392.44 | 392.00 | +0.443 | -2.0 |
| v# | 408.79 | 415.30 | -6.515 | +27.4 |
| vib | 418.60 | 415.30 | +3.296 | -13.7 |
| vi | 436.04 | 440.00 | -3.957 | +15.6 |
| vi# | 459.89 | 466.16 | -6.275 | +23.5 |
| viib | 465.11 | 466.16 | -1.052 | +3.9 |
| vii | 490.55 | 493.88 | -3.335 | +11.7 |
Table de comparaison des fréquences pour la gamme majeure: - les valeurs sont en Hz
ronde des quintes
On a parlé de tonalité lointaines, la distance entre tonalités se mesure en comptant le nombre de note qui changent entre les deux gammes. 8
8 Par exemple, il y a une seule note qui change entre la gamme majeure de Do et la gamme mineure de Ré (Si \rightarrow Si♭), alors que trois notes changent entre les gammes majeure et mineure de Do, elles sont donc plus “éloignées”.
Pour cela on pose les notes de quinte en quinte (donc 7 demi-tons). Du fait de l’enharmonicité en partant de Do, on va revenir à Do après 12 sauts. On peut donc mettre les notes sur un cercles, la ronde des quintes.
Si la position dans le cercle indique la fondamentale d’une note, chaque pas (saut d’une quinte) modifie une seule note de la gamme, un pas en avant rajoute un dièse, un pas en arrière rajoute un bémol. La distance entre deux notes dans ce cercle donne la distance entre les 2 tonalités associées. La tonalité mineure est toujours 3 pas en arrière de la tonalité majeure, ainsi la tonalité Do mineur a les mêmes bémols que la tonalité de Mi♭ - mais pas la même note fondamentale.
Cette organisation est fondamentale en musique tonale (on la retrouve par exemple à la main gauche de l’accordéon). On va en avoir besoin pour répondre à ta question.
Elle également met en relief le problème mathématique que résoud le tempérament égal. Si on veut des quintes justes de ratio 3/2 alors la ronde ne se referme pas, car aucune puissance de 3 n’est égale à une puissance de 2! Le plus proche équivalent, après 12 quintes est 3^{12}/2^{19} = 1.01365\cdots
transposition
On peut avoir envie de chanter une même mélodie,
Ces différentes tonalités sont suivant comment on les regarde soit anecdotiques soit fondamentales.
- anecdotique
- pour une mélodie jouer dans une tonalité donnée (et donc une succesion de ton et demi ton) le même air dans une autre tonalité sera la même succession mais avec d’autres fréquences (soit plus haut soit plus bas). Donc un simple changement de hauteur, toujour le même “air”.
- fondamentale
- en fait, la nouvelle mélodie, jouée à une autre tonalité, n’allume pas les même cellules cilées dans la cochlée, ni les même neurones dans le cerveau. Comme si on décalait les couleurs dans la roue des couleurs.
micro histoire de la musique occidentale
plain-chant
Notre musique occidentale actuelle est fondée dans le plain-chant du chant grégorien, chanté dans les églises et monastères qui ont fleurit dans toute l’europe dès le haut moyen-âge.
D’après Wikipédia (je n’en sais guère plus), c’est
- un chant, donc une musique vocale ;
- a cappella, c’est-à-dire sans accompagnement instrumental ;
- monodique, c’est-à-dire à une seule voix, non polyphonique ;
- modal, c’est-à-dire que chaque pièce est sans modulation harmonique et s’inscrit dans un cadre modal (ou mode) fixe ;
- et qui suit une rythmique verbale, c’est-à-dire sans division ni mesure.
Le nom des notes vient d’ailleurs d’un de ces chants voir ici sur Wikipedia
contrepoint
source: Évolution du contrepoint par Joëlle KUCZYNSKI
Dès les IXe et Xe sciècles, on commence à chanter à plusieurs voix. Les intervalles d’octave ou de quinte sont considérés comme “parfaits”, et il faut donc commencer et finir sur de tels intervalles. D’abord avec un bourdon (note basse constante) puis avec des voix parallèles en quinte et octave. C’est “l’organum”, dont voici un exemple.
Vers le XIIe on va commencer à chanter à plusieurs voix avec des parties plus élaborées. D’abord sur un rythme commun.
Dicent nunc Judoei à écouter les deux voix ensemble, puis séparées
les deux voix ensemble
voix supérieure seule
voix inférieure seule
Des règles précises sont posées.
En particulier, les différents intervalles présentés plus haut ont été classé en parfaits, sonnants, ou dissonants. Ainsi, (en suivant le système pytagoricien) l’unisson et l’octave sont posés comme des “consonances parfaites”, la quinte et la quarte de “consonances moyennes”, et les tierces de “consonances imparfaites”. Restent des “dissonances parfaites” la seconde, le triton (trois tons), la septième, à éviter. Et une “dissonance imparfaite” la sixte, (qui reste une polémique au moyen-âge, car “trop sensuelle”)
Les voix se doivent de s’étager suivant ces règles, une pièce doit commencer et finir sur une consonance parfaite.
Avec de meilleurs techniques pour noter les notes et les rythmes, les compositions vont se complexifier et le genre motet va se développer.
Kyrie IV Couperin
Il me vient plusieurs remarques en écoutant ces exemples, en particulier le plus ancien, la musique est harmonieuse, mais elle semble ne pas avoir trop de structure, être assez linéaire. L’écoute des voix séparées nous donne de belles mélodies, mais qui se perdent un peu dans la polyphonie.
Dans le motet, on considère seulement chaque voix indépendament, et les intervalles entre les notes, mais pas “l’harmonie” en tant que telle.
Certaines notes nous semblent inhabituelles voire légèrement fausses, c’est un effet de l’accoutumance extrême de notre oreille à la gamme tempérée. Celles qui nous semblent inhabituelles sont justement celles qui sont mal “approximées” par celui-ci (les tierces et les septième)
Je pense que ces impressions proviennent de mon oreille, moderne, éduquée à la musique tonale et au tempérament égal - une approche tellement différente, et qui a tout envahi.